Zinseszinsrechnung
Wenn du Geld auf ein Sparkonto legst, bekommst du darauf Zinsen. Die Zinsen werden üblicherweise jährlich gezahlt und der Zinssatz bezieht sich daher in der Regel auf 1 Jahr ("p.a." steht für "pro anno", das ist Lateinisch und bedeutet "für ein Jahr"). Wenn du dein Geld nun länger als 1 Jahr auf dem Sparkonto lässt, dann werden auch Zinsen auf die Zinsen, die du bereits erhalten hast, gezahlt. Daher spricht man von Zinseszinsen.
Du kannst dein Geld nicht nur für ganze Jahre (ganzjährige Verzinsung), sondern auch für Monate oder Tage anlegen. Entsprechend bekommst du dann nur einen Anteil des Jahreszinses gezahlt (unterjährige Verzinsung). Wenn der Anlagezeitraum ganze Jahre und auch Teile von einem Jahr umfasst, beispielsweise 1 Jahr und 3 Monate, dann spricht man von gemischter Verzinsung.
Die Zinseszinsrechnung lässt sich daher in Abhängigkeit von der Laufzeit in
- ganzjährige
- unterjährige und
- gemischte Verzinsung
unterteilen.
Eine andere Einteilung der Zinseszinsrechnung lässt sich anhand der Zeit, die zwischen zwei Zinszahlungen vergeht, vornehmen. Oft finden Zinszahlungen jährlich statt. Es sind aber auch kürzere Abschnitte wie Monate oder gar Tage möglich. Daher kann man die Zinseszinsrechnung auch nach Länge der Zinsperioden in die
unterteilen.
Da es so viele verschiedene Möglichkeiten gibt Kapital zu verzinsen, spielt der Effektivzins eine wichtige Rolle, um verschiedene Anlagen zu vergleichen.
Ganzjährige Verzinsung
Hier handelt es sich um den einfachsten Fall der Zinseszinsrechnung, da eine Zinsperiode 1 Jahr beträgt und sich auch der Zinssatz auf den gleichen Zeitraum, nämlich 1 Jahr, bezieht.
Lehrvideo: Zinseszinsrechnung - Teil 1: Ganzjährige Verzinsung
Übung 1 leicht
Du legst 2.500 Euro für 5 Jahre an. Die Bank zahlt dir einen Zinssatz von 3,5 Prozent p.a. Welchen Betrag erhältst du nach Ablauf der 5 Jahre?
Lösung
Gesucht: Endkapital Kn; gegeben: Startkapital K0=2.500, Laufzeit n=5, Zinssatz i=0,035 \begin{aligned} K_n&=K_0 \cdot (1+i)^n \\ K_n&=2.500 \cdot (1+0,035)^{5} \\ &=2.969,22 \end{aligned} Nach Ablauf der 5 Jahre erhältst du 2.969,22 Euro.
Quelle: EconProfs.de
Übung 2 leicht
Alexander plant nach Abschluss seines Studiums eine Weltreise. Er veranschlagt, dass er hierfür insgesamt 6.000 Euro benötigt. Welchen Betrag muss er 5 Jahre vorher sparen, wenn er einen Zinssatz von 4,5 Prozent erhält?
Lösung
Gesucht: Startkapital K0; gegeben: Endkapital Kn=6.000, Laufzeit n=5, Zinssatz i=0,045 \begin{aligned} K_n&=K_0 \cdot (1+i)^n \\ 6.000&=K_0 \cdot (1+0,045)^{5} \qquad |:(1+0,045)^{5}\\ \dfrac{6.000}{(1+0,045)^{5}}&=K_0 \\ K_0&=4.814,71 \end{aligned} Er muss 4.814,71 Euro zu Beginn der Laufzeit anlegen.
Quelle: EconProfs.de
Übung 3 leicht
Familie Meier möchte bald ihre Wohnung renovieren. Die Renovierung wird 3.000 Euro kosten. Wie lange muss sie dafür sparen, wenn sie heute 2.500 Euro zurücklegen kann, die zu 3,75 Prozent verzinst werden?
Lösung
Gesucht: Laufzeit n; gegeben: Startkapital K0=2.500, Endkapital Kn=3.000, Zinssatz i=0,0375 \begin{aligned} K_n&=K_0 \cdot (1+i)^n \\[9pt] 3.000&=2.500 \cdot (1+0,0375)^{n} & &|:2.500 \\[9pt] \dfrac{3.000}{2.500}&=(1+0,0375)^{n} & &|ln()\\[9pt] ln(\dfrac{3.000}{2.500})&=n \cdot ln(1,0375) & &|:ln(1,0375) \\[9pt] \dfrac{ln(\dfrac{3.000}{2.500})}{ln(1,0375)}&=n\\ n &\approx 5 \end{aligned} Sie muss ungefähr 5 Jahre sparen.
Quelle: EconProfs.de
Übung 4 leicht
Alle 12 Jahre muss die Transport GmbH ihren Fuhrpark erneuern. Sie veranschlagt hierfür einen Betrag von 1,2 Millionen Euro. Welchen Zinssatz muss sie mit der Bank verhandeln, wenn sie zu Beginn der Laufzeit einen Betrag von 800.000 Euro anlegen kann? (Geben Sie den Zinssatz in Prozent mit 2 Nachkommastellen an.)
Lösung
Gesucht: Zinssatz i; gegeben: Endkapital Kn=1.200.000, Startkapital K0=800.000, Laufzeit n=12 \begin{aligned} K_n&=K_0 \cdot (1+i)^n \\[9pt] 1.200.000&=800.000 \cdot (1+i)^{12} & &|:800.000\\[9pt] \dfrac{1.200.000}{800.000}&=(1+i)^{12} & &|\sqrt[12]{}\\[9pt] \sqrt[12]{\dfrac{1.200.000}{800.000}}&=1+i & &|-1 \\[9pt] \sqrt[12]{\dfrac{1.200.000}{800.000}}-1&=i\\ i &\approx 0,0344 \end{aligned} Sie muss einen Zinssatz von 3,44 Prozent aushandeln.
Quelle: EconProfs.de
Unterjährige und gemischte Verzinsung
Bisher haben wir unterstellt, dass die Geldanlage immer für einen Zeitraum von ganzen Jahren erfolgt. Dies ist häufig jedoch nicht der Fall. Oft werden Ersparnisse zu einem beliebigen Tag im Jahr auf das Sparkonto eingezahlt und zu einem beliebigen Tag wieder abgehoben. Bei der unterjährigen Verzinsung beträgt die Laufzeit weniger als ein Jahr. Hieraus ergibt sich ein Problem: Der Zinssatz bezieht sich in der Regel auf ein ganzes Jahr, die Laufzeit beträgt aber nun weniger als ein Jahr. Demzufolge muss die bisherige Zinformel angepasst werden, in dem die genaue Anzahl der Zinstage berechnet und der Zins anteilig ermittelt wird.
Beinhaltet der Anlagezeitraum neben Teilen von einem Jahr auch noch ganze Jahre - beispielsweise vom 13.2.22 bis zum 27.9.25 -, dann spricht man von gemischter Verzinsung. Denn es kommt dann sowohl die unterjährige, lineare Verzinsung als auch die ganzjährige, exponentielle Verzinsung zur Anwendung.
Zur Berechnung der Zinstage findet im Folgenden die deutsche kaufmännische Zinsmethode Anwendung. Demnach besteht jeder Monat aus 30 Zinstagen und damit das Jahr aus 360 Zinstagen. Diese Methode wird daher auch mit 30/360 bezeichnet. Für die Monate mit 31 Tagen ergibt sich damit die Besonderheit, dass trotzdem nur 30 Zinstage anfallen. Der Februar wird ebenfalls mit 30 Zinstagen berücksichtigt, sofern der Anlagezeitraum über den Februar hinausgeht. Endet die Laufzeit dagegen im Februar, werden die tatsächlichen Tage gezählt. Hier ein paar Beispiele:
- Bis zum 31.10. werden 9 mal 30 Tage für Januar bis einschließlich September gezählt zuzüglich 30 Zinstage im Oktober. Insgesamt ergeben sich damit 310 Zinstage.
- Bis zum 28. Februar werden 30 Tage für den Januar plus 28 Tage im Februar, also 58 Tage gezählt.
- Genauso wird für den 29. Februar mit 30 Tagen im Januar und 29 Tagen im Februar, also mit 59 Zinsstagen gerechnet.
Lehrvideo: Zinseszinsrechnung - Teil 2: Unterjährige und gemischte Verzinsung
Übung 1 leicht
Du zahlst am 20.5. einen Betrag von 3.000 Euro auf dein Sparkonto ein. Dieses wird mit 3,7 Prozent p.a. verzinst. Welchen Betrag kannst du am 15.12. des gleichen Jahres abheben?
Lösung
Gesucht: Endkapital Kt; gegeben: Startkapital K0=3.000, Zinssatz i=0,037, Laufzeit 20.5.-15.12. \begin{aligned} T_1&=30 \cdot 4 + 20 = 140 \\ T_2&=30 \cdot 11 + 15 = 345 \\[12pt] K_t&=K_0 \cdot (1+i \cdot \dfrac{T_2-T_1}{360}) \\ K_t&=3.000 \cdot (1+0,037 \cdot \dfrac{345-140}{360}) \\ &=3.063,21 \end{aligned} Am 15.12. kannst du 3.063,21 Euro abheben.
Quelle: EconProfs.de
Übung 2 leicht
Die Otto Müller GmbH erhält am 15.1. einen Zahlungseingang in Höhe von 15.300 Euro von einem Kunden. Am 3.4. möchte sie neue Rohstoffe einkaufen. Welcher Betrag ist hierfür verfügbar, wenn das Konto der Otto Müller GmbH mit 1,5 Prozent verzinst wird und keine weiteren Zahlungen in der Zwischenzeit getätigt wurden?
Lösung
Gesucht: Endkapital Kt; gegeben: Startkapital K0=15.300, Zinssatz i=0,015, Laufzeit 15.1.-3.4. \begin{aligned} T_1&=30 \cdot 0 + 15 = 15 \\ T_2&=30 \cdot 3 + 3 = 93 \\[12pt] K_t&=K_0 \cdot (1+i \cdot \dfrac{T_2-T_1}{360}) \\ K_t&=15.300 \cdot (1+0,015 \cdot \dfrac{93-15}{360}) \\ &=15.349,73 \end{aligned} Am 3.4. ist ein Betrag von 15.349,73 Euro verfügbar.
Quelle: EconProfs.de
Übung 3 leicht
Alexander spart für ein neues Auto und legt dafür 12.000 Euro zum 18.6.24 auf einem Sparkonto an. Die Bank bietet ihm einen Sparzins von 3,25 Prozent. Am 7.9.2026 sieht Alexander einen interessanten Gebrauchtwagen, den er gerne kaufen möchte. Wie viel Geld kann er dafür bieten?
Lösung
Gesucht: Endkapital Kt; gegeben: Startkapital K0=12.000, Zinssatz i=0,0325, Laufzeit 18.6.24-7.9.26 \begin{aligned} T_1&=30 \cdot 5 + 18 = 168 \\ n&=1\\ T_2&=30 \cdot 8 + 7 = 247 \\[12pt] K_t&=K_0 \cdot (1+i \cdot \dfrac{360-T_1+1}{360}) \cdot (1+i)^n \cdot (1+i \cdot \dfrac{T_2-1}{360}) \\ K_t&=12.000 \cdot (1+0,0325 \cdot \dfrac{360-168+1}{360}) \cdot (1+0,0325)^1 \cdot (1+0,0325 \cdot \dfrac{247-1}{360}) \\ &=12.885,69 \end{aligned} Er kann 12.885,69 Euro für das Auto bieten.
Quelle: EconProfs.de
Übung 4 leicht
Familie Huber möchte sich eine Eigentumswohnung kaufen und legt hierfür am 8. August 2020 den Betrag von 120.000 Euro auf einem Sparkonto zurück. Das Sparkonto wird mit 4,8 Prozent verzinst. Wie groß ist der Betrag, den Familie Huber als Eigenanteil für einen Immobilienkredit am 17. Januar 2027 bezahlen kann?
Lösung
Gesucht: Endkapital Kt; gegeben: Startkapital K0=120.000, Zinssatz i=0,048, Laufzeit 8.8.20-17.1.27 \begin{aligned} T_1&=30 \cdot 7 + 8 = 218 \\ n&=6\\ T_2&=30 \cdot 0 + 17 = 17 \\[12pt] K_t&=K_0 \cdot (1+i \cdot \dfrac{360-T_1+1}{360}) \cdot (1+i)^n \cdot (1+i \cdot \dfrac{T_2-1}{360}) \\ K_t&=120.000 \cdot (1+0,048 \cdot \dfrac{360-218+1}{360}) \cdot (1+0,048)^6 \cdot (1+0,048 \cdot \dfrac{17-1}{360}) \\ &=162.338,01 \end{aligned} Familie Huber kann einen Eigenanteil von 162.338,01 Euro bezahlen.
Quelle: EconProfs.de
Übung 5 leicht
Marie spart für ein neues Smartphone, das 800 Euro kosten soll. Welchen Betrag muss sie hierfür am 5.5. zurücklegen, wenn sie sich das Smartphone am 20.12. kaufen möchte und der Anlagebetrag mit 5,6 Prozent verzinst wird?
Lösung
Gesucht: Startkapital K0; gegeben: Endkapital Kt=800, Zinssatz i=0,056, Laufzeit 5.5.-20.12. \begin{aligned} T_1&=30 \cdot 4 + 5 = 125 \\ T_2&=30 \cdot 11 + 20 = 350 \\[12pt] K_t&=K_0 \cdot (1+i \cdot \dfrac{T_2-T_1}{360}) \\ 800&=K_0 \cdot (1+0,056 \cdot \dfrac{350-125}{360}) \qquad |:(1+0,056 \cdot \dfrac{350-125}{360})\\ \dfrac{800}{(1+0,056 \cdot \dfrac{350-125}{360})}&=K_0 \\ K_0&=772,95 \end{aligned} Sie muss 772,95 Euro am 5.5. zurücklegen.
Quelle: EconProfs.de
Übung 6 leicht
Welchen Zinssatz muss die Flink-und-fleißig GmbH bei ihrer Hausbank aushandeln, damit ihr am 1.3. angelegtes Kapitel in Höhe von 15.000 Euro bis zum 1.9. auf 15.800 Euro anwächst?
Lösung
Gesucht: Zinssatz i; gegeben: Startkapital K0=15.000, Endkapital Kt=15.800, Laufzeit 1.3.-1.9. \begin{aligned} T_1&=30 \cdot 2 + 1 = 61 \\ T_2&=30 \cdot 8 + 1 = 241 \\[12pt] K_t&=K_0 \cdot (1+i \cdot \dfrac{T_2-T_1}{360}) \\[9pt] 15.800&=15.000 \cdot (1+i \cdot \dfrac{241-61}{360}) \qquad |:15.000 \\[9pt] \dfrac{15.800}{15.000}&=1+i \cdot \dfrac{241-61}{360} \qquad |-1 \\[9pt] \dfrac{15.800}{15.000}-1&=i \cdot \dfrac{241-61}{360} \qquad | \cdot \dfrac{360}{241-61} \\[9pt] (\dfrac{15.800}{15.000}-1) \cdot \dfrac{360}{241-61}&=i\\[9pt] i &\approx 0,1067 \end{aligned} Sie muss einen Zinssatz von 10,67 Prozent aushandeln.
Quelle: EconProfs.de
Unterjährige Zinseszinsrechnung
Zinsen können statt nur am Jahresende auch mehrmals pro Jahr gutgeschrieben werden. Auch hier handelt es sich um eine unterjährige Verzinsung. Der Begriff "unterjährige Verzinsung" kann sich daher sowohl auf die Laufzeit (wie oben) oder auf die Anzahl der Zinszahlungen im Jahr (wie hier) beziehen. Um beides besser voneinander zu unterscheiden, wird hier der Begriff "unterjährige Zinseszinsrechnung" genutzt. Denn dies ist der entscheidende Punkt: Bei mehreren Zinszahlungen im Jahr fallen Zinseszinsen an, so dass der Endbetrag bei unterjähriger Verzinsung höher ausfällt als bei ganzjähriger.
Als eine Zinsperiode bezeichnet man den Zeitraum zwischen zwei Zinszahlungen. Werden Zinsen beispielsweise monatlich gezahlt, dann hat das Jahr 12 Zinsperioden. Die Anzahl der unterjährigen Zinsperioden wird im Folgenden mit dem Buchstaben m bezeichnet.
Lehrvideo: Zinseszinsrechnung - Teil 3: Unterjähriger Zinseszins
Übung 1 leicht
Eine Kapitalanlage in Höhe von 10.000 Euro wird mit 3 Prozent p.a. bei halbjährlicher Zinszahlung verzinst. Welchen Betrag erhält der Anleger nach 11 Jahren?
Lösung
Gesucht: Enbetrag Ks; gegeben: Startkapital K0=10.000, Laufzeit (Jahre) n=11, Anzahl der unterjährigen Zinsperioden m=2, Zins i=0,03 \begin{aligned} K_s&=K_0(1+\frac{i}{m})^{m \cdot n} \\[9pt] K_s&=10.000 \cdot (1+\frac{0,03}{2})^{2 \cdot 11} \\[9pt] &=13.875,64 \end{aligned} Er erhält 13.875,64 Euro.
Quelle: EconProfs.de
Übung 2 leicht
Die Firma MarinaXL hat einen Betrag in Höhe von 3.587 Euro durch den Verkauf von Meeresfrüchten erhalten. Der Geschäftsführer möchte diesen Betrag für 2 Jahre anlegen, um davon ein neues Boot anzuschaffen. Wie viel Geld erhält er nach 2 Jahren bei einem Zinssatz von 4,25 Prozent und monatlicher Verzinsung?
Lösung
Gesucht: Enbetrag Ks; gegeben: Startkapital K0=3.587, Laufzeit (Jahre) n=2, Anzahl der unterjährigen Zinsperioden m=12, Zins i=0,0425 \begin{aligned} K_s&=K_0(1+\frac{i}{m})^{m \cdot n} \\[9pt] K_s&=3.587 \cdot (1+\frac{0,0425}{12})^{12 \cdot 2} \\[9pt] &=3.904,64 \end{aligned} Er erhält 3.904,64 Euro nach 2 Jahren.
Quelle: EconProfs.de
Übung 3 mittel
Jana legt 3.500 Euro bei vierteljährlicher Verzinsung für 4 Jahre an und erhält am Ende der Laufzeit 4.100 Euro zurück. Welchen (jährlichen) Nominalzins hat sie bekommen?
Lösung
Gesucht: Nominalzins i; gegeben: Startkapital K0=3.500, Endkapital Ks=4.100, Laufzeit (Jahre) n=4, Anzahl der unterjährigen Zinsperioden m=4 \begin{aligned} K_s&=K_0(1+\frac{i}{m})^{m \cdot n} \\[9pt] 4.100&=3.500 \cdot (1+\frac{i}{4})^{4 \cdot 4} & &|:3.500\\[9pt] \frac{4.100}{3.500}&= (1+\frac{i}{4})^{16} & &| \sqrt[16]{} \\[9pt] \sqrt[16]{\frac{4.100}{3.500}}&=1+\frac{i}{4} & &|-1 \\[9pt] \sqrt[16]{\frac{4.100}{3.500}}-1&= \frac{i}{4} & &| \cdot 4 \\[9pt] (\sqrt[16]{\frac{4.100}{3.500}}-1) \cdot 4 &=i \\[9pt] i &\approx 0,0398 \end{aligned} Ihr Kapital wird mit einem Nominalzins von ungefähr 4 Prozent verzinst.
Quelle: EconProfs.de
Übung 4 mittel
Rudi spart für ein Pedelec, das 2.840 Euro kostet. Er kann jetzt 2.000 anlegen und die Bank bietet im einen Nominalzins von 5 Prozent bei täglicher Verzinsung. Wie lange muss er sparen?
Lösung
Gesucht: Laufzeit n; gegeben: Startkapital K0=2.000, Endkapital Ks=2.840, Anzahl der unterjährigen Zinsperioden m=360 (deutsche kaufmännische Zinsmethode), Zins i=0,05 \begin{aligned} K_s&=K_0(1+\frac{i}{m})^{m \cdot n} \\[9pt] 2.840&=2.000 \cdot (1+\frac{0,05}{360})^{360 \cdot n} & &|:2.000\\[9pt] \frac{2.840}{2.000}&= (1+\frac{0,05}{360})^{360 \cdot n} & &| \sqrt[360]{} \\[9pt] \sqrt[360]{\frac{2.840}{2.000}}&=(1+\frac{0,05}{360})^{ n} & &|ln() \\[9pt] ln(\sqrt[360]{\frac{2.840}{2.000}}) &= n \cdot ln(1+\frac{0,05}{360}) & &|:ln(1+\frac{0,05}{360}) \\[9pt] \frac{ln(\sqrt[360]{\frac{2.840}{2.000}})}{ln(1+ \frac{0,05}{360})} &=n \\[9pt] n &\approx 7 \end{aligned} Er muss ungefähr 7 Jahre lang sparen.
Quelle: EconProfs.de
Effektivzins
Der Effektivzins beschreibt den (jährlichen) Zinsssatz, zu dem das eingesetzte Kapitel tatsächlich verzinst wird. Bereits im Abschnitt zur unterjährigen Zinseszinsrechnung wurde beschrieben, wie der jährliche Zins berechnet werden kann, wenn unterjährige Zinsgutschriften erfolgen. Besonders relevant ist der Effektivzins auch, wenn Gebühren oder ein sogenanntes Agio anfallen: Das eingesetzte Kapital besteht aus dem Anlagebetrag plus Agio, verzinst wird aber nur der Anlagebetrag. Welche effektive Verzinsung ergibt sich, wenn man das gesamte eingesetzte Kapital betrachtet?
Mit Hilfe des Effektivzins können auch Anlagen zu unterschiedlichen Konditionen verglichen werden. Der effektive Jahreszins berücksichtigt dann alle Gebühren und/oder unterjährigen Zinszahlungen.
Lehrvideo: Zinseszinsrechnung - Teil 4: Effektivzins
Übung 1 leicht
Peter legt 5.000 Euro bei seiner Bank für 5 Jahre zu einem Zinssatz von 3,5 Prozent an. Zudem wird ein Agio in Höhe von 1,5 Prozent des Anlagebetrags fällig. Welchen Effektivzins erhält Peter?
Lösung
Gesucht: Effektivzins ieff; gegeben: Startkapital K0=5.000, Laufzeit n=10, Zins i=0,035, Agio g=0,015 \begin{aligned} i_{eff}&=\sqrt[n]{\dfrac{K_n}{K_0(1+g)}}-1 \\[12pt] K_n&=K_0 \cdot (1+i)^n \\ K_n&=5.000 \cdot (1+0,035)^{5} \\ &=5.938{,}43 \\[12pt] i_{eff} &=\sqrt[5]{\dfrac{5.938{,}43}{5.000(1+0,015)}}-1 \\[9pt] &=0{,}0319 \qquad (3{,}19\%) \end{aligned} Der Effektivzins beträgt 3,19 Prozent.
Quelle: EconProfs.de
Übung 2 leicht
Ein Investor möchte 30.000 Euro anlegen. Er hat zwei Alternativen zur Auswahl: zu 4 Prozent bei halbjährlicher Zinszahlung oder zu 3,9 Prozent bei monatlicher Zinszahlung. Welche Anlage bietet die höhere jährliche Effektivverzinsung?
Lösung
Gesucht: Effektivzins ieff; gegeben: Startkapital K0=30.000, für Anlage 1: i=0,04, m=2, für Anlage 2: i=0,039, m=12 \begin{aligned} i_{eff}&=(1+\frac{i}{m})^{m}-1 \\[12pt] i^1_{eff}&=(1+\frac{0,04}{2})^{2}-1 \approx 0,0404 \\[12pt] i^2_{eff}&=(1+\frac{0,039}{12})^{12}-1 \approx 0,0397\\[12pt] \end{aligned} Anlage 1 hat einen effektiven Jahreszins von 4,04 Prozent. Bei Anlage 2 beträgt der effektive Jahreszins nu 3,97 Prozent. Anlage 1 ist daher rentabler.
Quelle: EconProfs.de
Übung 3 leicht
Ein Investor kann 57.000 Euro bei Bank A für 3 Jahre zu einem Zins von 2,8 Prozent mit einem Agio von 1,7 Prozent anlegen oder bei Bank B für 2 Jahre zu 3,15 Prozent mit einem Agio von 2,5 Prozent. Welche Anlage bietet die höhere jährliche Effektivverzinsung?
Lösung
Gesucht: Effektivzins ieff; gegeben: Startkapital K0=57.000, für Anlage A: i=0,028, n=3, g=0,017, für Anlage B: i=0,0315, n=2, g=0,025 \begin{aligned} i_{eff}&=\sqrt[n]{\dfrac{K_n}{K_0(1+g)}}-1 \\[9pt] K_n&=K_0 \cdot (1+i)^n \\[20pt] K^A_n&=57.000 \cdot (1+0,028)^{3} =61.923{,}32 \\ i^A_{eff} &=\sqrt[3]{\dfrac{61.923{,}32}{57.000(1+0,017)}}-1 \approx 0{,}0222 \qquad (2{,}22\%) \\[20pt] K^B_n&=57.000 \cdot (1+0,0315)^{2} =60.647{,}56 \\ i^B_{eff} &=\sqrt[2]{\dfrac{60.647{,}56}{57.000(1+0,025)}}-1 \approx 0{,}0188 \qquad (1{,}88\%) \end{aligned} Der jährliche Effektivzins von Anlage A ist mit 2,22 Prozent höher als bei Anlage B mit 1,88 Prozent.
Quelle: EconProfs.de
Übung 4 mittel
Firma Huber erhält eine Kundeneinzahlung in Höhe von 120.000 Euro. Diese legt sie für 4 Monate zu einem Zinssatz von 5,5 Prozent an. Zusätzlich fällt zu Beginn der Laufzeit ein Agio von 0,3 Prozent an. Wie hoch ist der jährliche Effektivzins dieser Geldanlage?
Lösung
Gesucht: Effektivzins ieff; gegeben: Startkapital K0=120.000, i=0,055, m=3, g=0,003
Endbetrag nach 4 Monaten: \begin{aligned} K_n&=K_0 \cdot (1+\frac{i}{m})=120.000 \cdot (1+\frac{0,055}{3})=122.200 \end{aligned}
effektiver Periodenzins: \begin{aligned} i'_{eff}&=\dfrac{K_n}{K_0(1+g)}-1 =\dfrac{122.200}{120.000(1+0,003)}-1 \approx 0{,}0153 \end{aligned}
effektiver Jahreszins: \begin{aligned} i_{eff}&=(1+i')^m-1=(1+0{,}0153)^3-1 \approx 0{,}0466 \qquad (4{,}66\%) \end{aligned} Der jährliche Effektivzins beträgt 4,66 Prozent.
Quelle: EconProfs.de
Investitionsrechnung
Eine Investition ist zunächst mit einer hohen Auszahlung verbunden. In der Zukunft soll die Investition dann Erträge (Einzahlungen) bringen. Um abzuschätzen, ob sich die Investition lohnt oder nicht, gibt es zwei wichtige Methoden:
- Bei der Kapitalwertmethode wird der heutige Wert der Investition als Maßstab genommen. Ist er positiv, so lohnt sich die Investition.
- Bei der internen Zinsfuß-Methode wird die interne Verzinsung der Investition berechnet. Anhand der Höhe des internen Zinssatzes wird dann entschieden, ob die Investition vorteilhaft ist oder nicht.
Kapitalwert
Der Kapitalwert beschreibt den heutigen Wert der Investition, wenn man alle Ein- und Auszahlungen berücksichtigt und auf den heutigen Zeitpunkt bezieht. Der Kapitalwert wird daher auch als Barwert bezeichnet.
Lehrvideo: Investitionsrechnung - Teil 1: Kapitalwert
Übung 1 leicht
Die Firma Peter Müller möchte eine neue Maschine anschaffen. Diese kostet 25.000 Euro in der Anschaffung. In den folgenden 5 Jahren rechnet Firmenchef Müller mit jährlichen Einzahlungen von jeweils 5.500 Euro. Wie hoch ist der Kapitalwert der Investition bei einem Kalkulationszinssatz von 3 Prozent? Lohnt sich die Investition?
Lösung
Gesucht: Kapitalwert KW; gegeben: Auszahlung Z0=-25.000, Einzahlungen Z1=5.500, Z2=5.500, Z3=5.500, Z4=5.500, Z5=5.500, i=0,03 \begin{aligned} KW&=-25.000+\frac{5.500}{(1+0{,}03)^1} +\frac{5.500}{(1+0{,}03)^2}+\frac{5.500}{(1+0{,}03)^3}+\frac{5.500}{(1+0{,}03)^4}+\frac{5.500}{(1+0{,}03)^5} \\ &= 188{,}39 > 0 \\ \end{aligned} Der Kapitalwert beträgt 188,39 Euro. Die Investition lohnt sich, da der Kapitalwert größer Null ist.
Quelle: EconProfs.de
Übung 2 leicht
Ein Autobauer möchte seine Produktion modernisieren und eine Investition in Höhe von 250.000 Euro tätigen. In den folgenden Jahren erwartet er positive Rückflüsse in folgender Höhe: 50.000 Euro in Jahr 1, 85.000 Euro in Jahr 2, 80.000 Euro in Jahr 3 und 40.000 Euro in Jahr 4. Er kalkuliert mit einem Zinssatz von 4,5 Prozent. Berechne den Barwert der Investition! Ist die Investition vorteilhaft?
Lösung
Gesucht: Kapitalwert KW; gegeben: Auszahlung Z0=-250.000, Einzahlungen Z1=50.000, Z2=85.000, Z3=80.000, Z4=40.000, i=0,045 \begin{aligned} KW&=-250.000+\frac{50.000}{1+0{,}045} +\frac{85.000}{(1+0{,}045)^2}+\frac{80.000}{(1+0{,}045)^3}+\frac{40.000}{(1+0{,}045)^4}\\ &= -20.669{,}88 \\ \end{aligned} Der Barwert der Investition beträgt -20.669,88 Euro. Die Investition ist nicht vorteilhaft, da der Barwert der Investition negativ ist.
Quelle: EconProfs.de
Übung 3 leicht
Eine Maschine kostet 15.000 Euro und sie führt in den folgenden Jahren zu Mehreinnahmen in Höhe von 3.000 Euro im ersten, 6.000 im zweiten und 8.000 Euro im dritten Jahr. Ist es vorteilhaft, die Maschine anzuschaffen, wenn der Kalkulationszinsatz 5 Prozent beträgt?
Lösung
Gesucht: Kapitalwert KW; gegeben: Auszahlung Z0=-15.000, Einzahlungen Z1=3.000, Z2=6.000, Z3=8.000, i=0,05 \begin{aligned} KW&=-15.000+\frac{3.000}{1+0{,}05} +\frac{6.000}{(1+0{,}05)^2}+\frac{8.000}{(1+0{,}05)^3}\\ &= 210{,}02 > 0\\ \end{aligned} Der Barwert der Investition beträgt 210,02 Euro und ist positiv. Daher ist es vorteilhaft, die Maschine anzuschaffen.
Quelle: EconProfs.de
Interner Zinsfuß
Der interne Zinsfuß bezeichnet den Zinsfuß bzw. Zinssatz, zu dem das eingesetzte Kapital, also die Auszahlung für das Investitionsobjekt, unter Berücksichtigung aller künftigen Einzahlungen verzinst wird. Der interne Zinssatz gilt somit als Maßstab, wie lohnend die Investition ist und er kann mit den Zinssätzen in alternativen Anlagen verglichen werden.
Lehrvideo: Investitionsrechnung - Teil 2: Interner Zinsfuß
Übung 1 leicht
Eine Maschine kostet 20.000 Euro und führt zu Einzahlungen in Höhe von 12.000 Euro im ersten und 10.000 Euro im zweiten Jahr. Wie hoch ist der interne Zinssatz der Investition!
Lösung
Gesucht: interner Zinssatz iint; gegeben: Auszahlung Z0=-20.000, Einzahlungen Z1=12.000, Z2=10.000 \begin{aligned} KW=-Z_0+\frac{Z_1}{(1+i_{int})} +\frac{Z_2}{(1+i_{int})^2}&=0 \\[9pt] -20.000+\frac{12.000}{(1+i_{int})} +\frac{10.000}{(1+i_{int})^2}&=0 \qquad |q_{int}=1+i_{int}\\[9pt] -20.000+\frac{12.000}{q_{int}} +\frac{10.000}{q_{int}^2}&=0 \qquad|\cdot q_{int}^2 \\[9pt] -20.000q_{int}^2+12.000q_{int} +10.000&=0 \qquad| :(-20.000) \\[9pt] q_{int}^2-0{,}6q_{int} -0{,}5&=0 \qquad|p=-0{,}6, q=-0{,}5\\[9pt] q_{int}=-\frac{-0{,}6}{2}+\sqrt{(\frac{-0{,}6}{2})^2-(-0{,}5)}=1{,}0681\\[9pt] i_{int}=1{,}0681-1=0{,}0681 \end{aligned} Der interne Zinssatz der Investition beträgt 6,81 Prozent.
Quelle: EconProfs.de
Übung 2 leicht
Die Firma Schnell+Gut stellt Tennisbälle her. Das letzt Geschäftsjahr war sehr erfolgreich und es wurde ein Überschuss von 55.000 Euro erwirtschaftet. Der Geschäftsführer überlegt daher, das Geld in eine moderne Maschine zu investieren. Diese würde zu Mehreinnahmen in Höhe von 28.000 im ersten und 30.000 Euro im zweiten Jahr führen. Alternativ könnte es sein Kapital auch bei der Bank zu einem Zinssatz von 4,5 Prozent anlegen. Für welche Alternative soll er sich entscheiden?
Lösung
Gesucht: interner Zinssatz iint; gegeben: Auszahlung Z0=-55.000, Einzahlungen Z1=28.000, Z2=30.000 \begin{aligned} KW=-Z_0+\frac{Z_1}{(1+i_{int})} +\frac{Z_2}{(1+i_{int})^2}&=0 \\[9pt] -55.000+\frac{28.000}{(1+i_{int})} +\frac{30.000}{(1+i_{int})^2}&=0 \qquad |q_{int}=1+i_{int}\\[9pt] -55.000+\frac{28.000}{q_{int}} +\frac{30.000}{q_{int}^2}&=0 \qquad|\cdot q_{int}^2 \\[9pt] -55.000q_{int}^2+28.000q_{int} +30.000&=0 \qquad| :(-55.000) \\[9pt] q_{int}^2-0{,}51q_{int} -0{,}55&=0 \qquad|p=-0{,}51, q=-0{,}55\\[9pt] q_{int}=-\frac{-0{,}51}{2}+\sqrt{(\frac{-0{,}51}{2})^2-(-0{,}55)}=1{,}0392\\[9pt] i_{int}=1{,}0392-1=0{,}0392 \end{aligned} Der interne Zinssatz der Investition beträgt 3,92 Prozent. Die Geldanlage bei der Bank zu 4,5 Prozent ist daher die bessere Alternative.
Quelle: EconProfs.de
Übung 3 leicht
Unternehmerin Klara hat sich zum Ziel gesetzt mindestens 5 Prozent Rendite mit ihrer Unternehmung zu erwirtschaften. Sie überlegt, in neue Technik zu investieren und eine Produktionsanlage für 35.000 Euro anzuschaffen. In den ersten zwei Jahren rechnet sie mit Rückflüssen von 24.000 und 13.000 Euro. Wird die Investition ihrem Anspruch, 5 Prozent Rendite zu erwirtschaften gerecht?
Lösung
Gesucht: interner Zinssatz iint; gegeben: Auszahlung Z0=-35.000, Einzahlungen Z1=24.000, Z2=13.000 \begin{aligned} KW=-Z_0+\frac{Z_1}{(1+i_{int})} +\frac{Z_2}{(1+i_{int})^2}&=0 \\[9pt] -35.000+\frac{24.000}{(1+i_{int})} +\frac{13.000}{(1+i_{int})^2}&=0 \qquad |q_{int}=1+i_{int}\\[9pt] -35.000+\frac{24.000}{q_{int}} +\frac{13.000}{q_{int}^2}&=0 \qquad|\cdot q_{int}^2 \\[9pt] -35.000q_{int}^2+24.000q_{int} +13.000&=0 \qquad| :(-35.000) \\[9pt] q_{int}^2-0{,}69q_{int} -0{,}37&=0 \qquad|p=-0{,}69, q=-0{,}37\\[9pt] q_{int}=-\frac{-0{,}69}{2}+\sqrt{(\frac{-0{,}69}{2})^2-(-0{,}37)}=1{,}0443\\[9pt] i_{int}=1{,}0443-1=0{,}0443 \end{aligned} Der interne Zinssatz der Investition beträgt 4,43 Prozent. Damit wird die Investition nicht ihrem Anspruch gerecht, 5 Prozent Rendite zu erwirtschaften.
Quelle: EconProfs.de
Rentenrechnung
Als Rente bezeichnet man in der Mathematik einen Zahlungsstrom mit konstanten Beträgen in gleichen zeitlichen Abständen. Es kann sich hierbei um Auszahlungen, wie eine Altersrente, oder aber auch um Einzahlungen, wie einen Sparplan handeln. Neben der Rentenzahlung und der Laufzeit der Rente kann auch der Gesamtwert der Rentenzahlungen zu Beginn, das ist der Rentenbarwert, oder zum Ende der Rente - dieser wird als Rentenendwert bezeichnet - berechnet werden.Ein wichtiges Merkmal der Rente ist noch, ob die Rentenzahlung vor- oder nachschüssig, also zu Beginn oder zum Ende einer Periode aus- bzw. eingezahlt wird.
Lehrvideo: Rentenrechnung - Teil 1: ganzjährig (nach- und vorschüssig)
Übung 1 leicht
Marlene bekommt von ihrer Oma jedes Jahr zu Jahresbeginn 1.000 Euro geschenkt. Davon zahlt sie 500 Euro in einen Sparplan mit einer Verzinsung von 3,2 Prozent ein. Wie viel Geld hat sie nach 5 Jahren angespart?
Lösung
Gesucht: Endkapital (vorschüssig) Rn; gegeben: Rente r'=500, Zinssatz i=0,032, Laufzeit n=5 \begin{aligned} R_n&=r' \cdot \frac{q^{n+1}-q}{i} \\[12pt] R_n&=500 \cdot \frac{1{,}032^{5+1}-1{,}032}{0{,}032} \\[12pt] &=\textbf{2.750,49} \end{aligned} Nach fünf Jahren hat sie 2.750,49 Euro angespart.
Quelle: EconProfs.de
Übung 2 leicht
Melina hat 40.000 Euro gespart, die zu einem Zinssatz von 4,05 Prozent angelegt sind. Jetzt möchte sie weniger arbeiten und sich jeweils zu Jahresbeginn einen bestimmten Betrag davon auszahlen. Das Geld soll 10 Jahre lang reichen. Welchen Betrag kann sie sich dann jährlich auszahlen?
Lösung
Gesucht: Rente (vorschüssig) r'; gegeben: Rentenbarwert R0, Zinssatz i=0,0405, Laufzeit n=10 \begin{aligned} R_0&=r \cdot \frac{q^n-1}{q^{n-1} \cdot i} \\[12pt] 40.000&=r \cdot \frac{1{,}0405^{10}-1}{1{,}0405^{10-1} \cdot 0{,}0405} &\qquad &|\cdot \frac{1{,}0405^{10-1} \cdot 0{,}0405}{1{,}0405^{10}-1} \\[12pt] 40.000 \cdot \frac{1{,}0405^{10-1} \cdot 0{,}0405}{1{,}0405^{10}-1}&=r \\[12pt] r&\approx \textbf{4.751,49} \end{aligned} Sie kann sich zehn Jahre lang jeweils 4.751,49 Euro zu Jahresbeginn auszahlen lassen.
Quelle: EconProfs.de
Übung 3 mittel
Karsten möchte sich eine Eigentumswohnung kaufen. Hierfür braucht er 125.000 Euro. Jedes Jahr kann er 12.000 Euro (nachschüssig) zurücklegen, die er zu einem Zinssatz von 3,5 Prozent anlegt. Wie lange muss er sparen?
Lösung
Gesucht: Laufzeit n; gegeben: Endkapital Rn, Rente (nachschüssig) r=12.000, Zinssatz i=0,035 \begin{aligned} R_n&=r \cdot \frac{q^n-1}{i} \\[12pt] 125.000&=12.000 \cdot \frac{1{,}035^n-1}{0{,}035} &\qquad &|:12.000 \\[12pt] \frac{125.000}{12.000}&=\frac{1{,}035^n-1}{0{,}035} &\qquad &|\cdot 0{,}035 \\[12pt] \frac{125.000 \cdot 0{,}035}{12.000}&=1{,}035^n-1 &\qquad &|+1 \\[12pt] \frac{125.000 \cdot 0{,}035}{12.000}+1&=1{,}035^n &\qquad &|ln \\[12pt] ln(\frac{125.000 \cdot 0{,}035}{12.000}+1)&=n \cdot ln(1{,}035) &\qquad &|:ln(1{,}035) \\[12pt] \frac{ln(\frac{125.000 \cdot 0{,}035}{12.000}+1)}{ln(1{,}035)}&=n \\[12pt] n&\approx \textbf{9} \end{aligned} Er muss 9 Jahre lang sparen.
Quelle: EconProfs.de